解：∵∠ABB₁=60°，AB=4，AA₁=2，C，C₁分别为AB，A₁B₁的中点，

∴AC=2，OA= $\sqrt{3}$ ，OB₁= $\sqrt{3}$ ，

若AB₁= $\sqrt{6}$ ，

则OA²+OB₁²=AB₁²，

则三角形AOB₁为直角三角形，

则AO⊥OB₁，

以O为原点，以0C，0B₁，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则C（1，0，0），B₁（0， $\sqrt{3}$ ，0），C₁（﹣1，0，0），A（0，0， $\sqrt{3}$ ），

则 $\vec{C C_{1}}$ =（﹣2，0，0），

则 $\vec{A A_{1}}$ = $\vec{C C_{1}}$ =（﹣2，0，0）， $\vec{A B_{1}}$ =（0， $\sqrt{3}$ ，﹣ $\sqrt{3}$ ）， $\vec{A C}$ =（﹣1，0，﹣ $\sqrt{3}$ ），

设平面AB₁C的法向量为 $\vec{n}$ =（x，y，z），

则 ${\begin{matrix} \vec{n} • \vec{A B_{1}} = \sqrt{3} y - \sqrt{3} z = 0 \\ \vec{n} • \vec{A C} = - x - \sqrt{3} z = 0 \end{matrix}$ ，

令z=1，则y=1，x=﹣ $\sqrt{3}$ ，

则 $\vec{n}$ =（﹣ $\sqrt{3}$ ，1，1），

设平面A₁B₁A的法向量为 $\vec{m}$ =（x，y，z），则 ${\begin{matrix} \vec{m} • \vec{A A_{1}} = - 2 x = 0 \\ \vec{m} • \vec{A B_{1}} = \sqrt{3} y - \sqrt{3} z = 0 \end{matrix}$ ，

令z=1，则x=0，y=1，即 $\vec{m}$ =（0，1，1），

则cos＜ $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ＞= $\frac{\vec{m} • \vec{n}}{| \vec{m} | | \vec{n} |}$ = $\frac{0 + 1 + 1}{\sqrt{3 + 1 + 1} • \sqrt{1 + 1}}$ = $\frac{2}{\sqrt{5} • \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

由于二面角C﹣AB₁﹣A₁是钝二面角，

∴二面角C﹣AB₁﹣A₁的余弦值是﹣ $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ．

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高二下学期开学数学试卷（理科）（普通班）