解：方法一：设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，

则E（﹣ $\text{[math]}$ ，0），F（0，1），OE= $\text{[math]}$ ，OF=1．

在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

令y=x²+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．

∴C（﹣k，0），OC=k．

Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，

则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．

设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON= $\text{[math]}$ ．

∴EN=OE﹣ON= $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ．

∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，

∴△EQN∽△EOF，

∴ $\text{[math]}$ ，即： $\text{[math]}$ ，

解得：k=± $\text{[math]}$ ，

∵k＞0，

∴k= $\text{[math]}$ ．

∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k= $\text{[math]}$ ．

Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，

将C（﹣k，0）代入y=kx+1中，

可得k=1，k=﹣1（舍去），

故存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=1．

综上所述，k= $\text{[math]}$ 或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°

方法二：∵y=x²+（k﹣1）x﹣k，

∴y=（x+k）（x﹣1），

当y=0时，x₁=﹣k，x₂=1，

∴C（﹣k，0），D（1，0），

点Q在y=kx+1上，设Q（t，kt+1），O（0，0），

∵∠OQC=90°，∴CQ⊥OQ，∴K_CQ×K_OQ=﹣1，

∴ $\text{[math]}$ ＜

∴（k²+1）t²+3kt+1=0有唯一解，

∴△=（3k）²﹣4（k²+1）=0，

∴k₁= $\text{[math]}$ ，k₂=﹣ $\text{[math]}$ （k＞0故舍去），∴k= $\text{[math]}$

2017年浙江省湖州四中教育集团中考数学一模试卷