解：如图，

在平面 $A C C_{1} A_{1}$ 内过 $A_{1}$ 作 $A_{1} O ⊥ A C$ 与 $A C$ 交于点 $O$ ，

因为平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，且平面 $A C C_{1} A_{1} \cap^{}$ 平面 $A B C = A C$ ， $A_{1} O \subset$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，

所以 $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C$ ，所以 $∠ A_{1} A C$ 为 $A A_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角，

由公式 $cos ∠ B A A_{1} = cos ∠ A_{1} A C \cdot cos ∠ B A C$ ，解得 $cos ∠ A_{1} A C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

所以 $∠ A_{1} A C = 45 °$ ， $A_{1} O = A A_{1} sin 45 ° = 1$ ，

又 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$ ，所以三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $1 \times 1 = 1$ .

辽宁省大连市2019届高三下学期理数第一次（3月)双基测试试卷