解：如图③，

作线段AD的中垂线，交AD于点E，交BC于点F，则点O在EF上，以OA为半径作⊙O，当⊙O与BC相切于点P时，∠APD最大。（在BC上任意取一点M，连接MA、MD，MD交⊙O于N，连接AN：∠AND>∠AMD，∠APD=∠AND，∠APD>∠AMD)

连接OP，延长DA交CB的延长线于G.
∵AB⊥BC.∠DAB=135°

∴∠G=45°，△ABG和△EFG都是等腰直角三角形

∴AB=BG=1，AG= $\text{[math]}$

∵AD=2 $\text{[math]}$ ，OE⊥AD，∴AE=ED= $\text{[math]}$

∴EG=EF=2 $\text{[math]}$ ，GF= $\text{[math]}$ EG=4

设OP=PF=r，则OF= $\text{[math]}$ r，OE=EF-OF=2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ r

在Rt△AOE中，由勾股定理得

$\text{[math]}$

解得r₁=4- $\text{[math]}$ .r₂=4+ $\text{[math]}$ （不合题意，舍去）

∴BP=GF=GB-PF=4-1-r= $\text{[math]}$ -1

陕西省西安未央区2018-2019学年九年级下学期数学第一次联考