解：解法1：取

A D^{'}

的中点

F

，连结

E F ， B F

，

∵ $A E = E C$ ，

∴ $E F / / C D^{'}$ ，

又 $C D^{'} ⊥ A D^{'}$ ，

∴ $A D^{'} ⊥ E F$ ．

又由题意得 $△ A B D^{'}$ 为等边三角形，

∴ $A D^{'} ⊥ B F$ ，

∵ $B F \cap^{} E F = F$ ，

∴ $A D^{'} ⊥$ 平面 $B E F$ ．

作 $E H ⊥ E B$ ，则有 $E H ⊥$ 平面 $A B D^{'}$ ，

∴ $∠ E B F$ 就是直线 $B E$ 与平面 $A B D^{'}$ 所成的角．

设 $C D^{'} = 1$ ，则 $E F = \frac{1}{2}$ ，

在等边 $△ A B D^{'}$ 中， $B F = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3}$ ．

又在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 2 ， AC = \sqrt{5}$ ，故 $B E = \sqrt{2^{2} - {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$ ．

在 $△ E B F$ 中，由余弦定理得 $cos ∠ E B F = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} + {(\frac{\sqrt{11}}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2 \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{11}}{2}} = \frac{\sqrt{33}}{6}$ ，

∴ $sin ∠ E B F = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ，

∴直线 $B E$ 与平面 $A B D^{'}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ．

解法2：由题意可得 $E B ⊥ 平面 A C D^{'}$ ，建立如图所示的空间直角坐标系 $E x y z$ .

不妨设 $C D = 1$ ，则在直角三角形 $A C D^{'}$ 中，可得 $A D^{'} = 2 ， AC = \sqrt{5}$ ，

作 $D^{'} G ⊥ A C$ 于 $G$ ，则有平面几何知识可得 $D^{'} G = \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， E G = E C - C G = \frac{3 \sqrt{5}}{10}$ ，

∴ $D^{'} (0 ， \frac{3 \sqrt{5}}{10} ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ ．

又可得 $A (0 ， - \frac{\sqrt{5}}{2} ， 0)$ ， $B (\frac{\sqrt{11}}{2} ， 0 ， 0)$ .

∴ $\overset{⇀}{A D^{'}} = (0 ， \frac{4 \sqrt{5}}{5} ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ ， $\overset{⇀}{A B} = (\frac{\sqrt{11}}{2} ， \frac{\sqrt{5}}{2} ， 0)$ ．

设平面 $A B D^{'}$ 的一个法向量为 $\overset{⇀}{m} = (x ， y ， z)$ ，

由 ${\begin{matrix} \vec{m} \cdot \vec{A D^{'}} = \frac{4 \sqrt{5}}{5} y + \frac{2 \sqrt{5}}{5} z = 0 \\ \vec{m} \cdot \vec{A B} = \frac{\sqrt{11}}{2} x + \frac{\sqrt{5}}{2} y = 0 \end{matrix}$ ，得 ${\begin{matrix} x = - \frac{\sqrt{55}}{11} y \\ z = - 2 y \end{matrix}$ ，

令 $y = \sqrt{11}$ ，则得 $\overset{⇀}{m} = (- \sqrt{5} ， \sqrt{11} ， - 2 \sqrt{11})$ ．

又 $\overset{⇀}{E B} = (\frac{\sqrt{11}}{2} ， 0 ， 0)$ ，

设直线 $B E$ 与平面 $A B D^{'}$ 所成的角为 $θ$ ，

则 $sin θ = | cos 〈 \overset{⇀}{m} ， \overset{⇀}{E B} 〉 | = \frac{| \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{E B} |}{\overset{⇀}{| m} | | \overset{⇀}{E B} |} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ．

所以直线 $B E$ 与平面 $A B D^{'}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ．

浙江省2019年高考数学模拟训练（二)