解：假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，

解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则 $\text{[math]}$ ．

分两种情况（如图所示）：

①∵O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．

∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q₁重合，

因此，点Q₁（7，﹣4）符合 $\text{[math]}$ ，

∵D（4，﹣5），Q₁（7，﹣4），

∴用待定系数法可求出直线DQ₁解析式为y= $\text{[math]}$ x﹣ $\text{[math]}$ ．

解方程组 $\text{[math]}$

得 $\text{[math]}$

∴点P₁坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）不符合题意，舍去．

②∵Q₁（7，﹣4），

∴点Q₁关于x轴对称的点的坐标为Q₂（7，4）也符合 $\text{[math]}$ ．

∵D（4，﹣5），Q₂（7，4）．

∴用待定系数法可求出直线DQ₂解析式为y=3x﹣17．

解方程组 $\text{[math]}$

得 $\text{[math]}$ ，

即 $\text{[math]}$

∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．

∴符合条件的点P有两个：P₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），P₂（14，25）．

解法二：分两种情况（如图所示）：

①当DP₁∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．

∵B（9，0），C（0，﹣3）．

∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y= $\text{[math]}$ x﹣3．

又∵DP₁∥CB，

∴设直线DP₁的解析式为y= $\text{[math]}$ x+n．

把D（4，﹣5）代入可求n=﹣ $\text{[math]}$ ，

∴直线DP₁解析式为y= $\text{[math]}$ x﹣ $\text{[math]}$ ．

解方程组 $\text{[math]}$

得 $\text{[math]}$

∴点P₁坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）（不符合题意舍去）．

②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），

∴∠NDB=∠CBD．

由①知，直线BC解析式为y= $\text{[math]}$ x﹣3．

取x=4，得y=﹣ $\text{[math]}$ ，

∴M（4，﹣ $\text{[math]}$ ），

∴O′N=O′M= $\text{[math]}$ ，

∴N（ $\text{[math]}$ ，0），

又∵D（4，﹣5），

∴直线DN解析式为y=3x﹣17．

解方程组 $\text{[math]}$

得 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$

∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．

∴符合条件的点P有两个：P₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），P₂（14，25）．

解法三：分两种情况（如图所示）：

①求点P₁坐标同解法二．

②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，

此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．

由（2）题知直线BD的解析式为y=x﹣9，

又∵C（0，﹣3）

∴可求得CG的解析式为y=x﹣3，

设G（m，m﹣3），作GH⊥x轴交于x轴与H，

连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，

由D（4，﹣5）与G（7，4）可得，

DG的解析式为y=3x﹣17，

解方程组 $\text{[math]}$

得 $\text{[math]}$ ，

即 $\text{[math]}$

∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意舍去．

∴符合条件的点P有两个：P₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），P₂（14，25）．

2016-2017学年浙江省杭州市萧山区党湾中学九年级下学期开学数学试卷