证明：设直线OA：y=k₁x，OB：y=k₂x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

设过原点圆（x﹣x₀）²+（y﹣y₀）²=3的切线方程为y=kx，

则有 $\frac{| k x_{0} - y_{0} |}{\sqrt{1 + k^{2}}}$ = $\sqrt{3}$ ，整理得（x₀²﹣3）k²﹣2x₀y₀k+y₀²﹣3=0，

即有k₁+k₂= $\frac{2 x_{0} y_{0}}{x_{0}^{2} - 3}$ ，k₁k₂= $\frac{y_{0}^{2} - 3}{x_{0}^{2} - 3}$ ，

又因为 $\frac{x_{0}^{2}}{12} + \frac{y_{0}^{2}}{4} = 1$ ，所以可求得k₁k₂= $\frac{y_{0}^{2} - 3}{12 - 3 y_{0}^{2} - 3}$ =﹣ $\frac{1}{3}$ ，

将y=k₁x代入椭圆方程x²+3y²=12，

得x₁²= $\frac{12}{1 + 3 k_{1}^{2}}$ ，则y₁²= $\frac{12 k_{1}^{2}}{1 + 3 k_{1}^{2}}$ ，

同理可得x₂²= $\frac{12}{1 + 3 k_{2}^{2}}$ ，y₂²= $\frac{12 k_{2}^{2}}{1 + 3 k_{2}^{2}}$ ，

所以|OA|²+|OB|²= $\frac{12 (1 + k_{1}^{2})}{1 + 3 k_{1}^{2}}$ + $\frac{12 (1 + k_{2}^{2})}{1 + 3 k_{2}^{2}}$

= $\frac{12 (1 + k_{1}^{2}) (1 + 3 k_{2}^{2}) + 12 (1 + k_{2}^{2}) (1 + 3 k_{1}^{2})}{(1 + 3 k_{1}^{2}) (1 + 3 k_{2}^{2})}$

= $\frac{16 [2 + 3 (k_{1}^{2} + k_{2}^{2})]}{2 + 3 (k_{1}^{2} + k_{2}^{2})}$ =16．

所以|OA|²+|OB|²的值为定值16

2017年江西省九江市十校联考高考数学二模试卷（理科）