解：①如图2，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，则AP=AQ，

即3﹣t=t，

∴t=1.5，

∴AP=AQ=1.5；

延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O，

则△AQO∽△ABC，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴AO= $\text{[math]}$ •AC= $\text{[math]}$ ，QO= $\text{[math]}$ •BC=2，

∴PO=AO﹣AP=1．

∵OQ∥BC∥AD，

∴△APE∽△OPQ

∴ $\text{[math]}$ ，

∴AE= $\text{[math]}$ •QO=3．

②（ⅰ）如图3，当点Q从B向A运动时l经过点B，

BQ=CP=AP=t，∠QBP=∠QAP

∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°

∴∠PBC=∠PCB CP=BP=AP=t

∴CP=AP= $\text{[math]}$ AC= $\text{[math]}$ ×5=2.5∴t=2.5．

（ⅱ）如图4，当点Q从A向B运动时l经过点B；

BP=BQ=3﹣（t﹣3）=6﹣t，AP=t，PC=5﹣t，

过点P作PG⊥CB于点G，则PG∥AB，

∴△PGC∽△ABC，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴PG= $\text{[math]}$ •AB= $\text{[math]}$ （5﹣t），CG= $\text{[math]}$ •BC= $\text{[math]}$ （5﹣t），

∴BG=4﹣ $\text{[math]}$ （5﹣t）= $\text{[math]}$ t，

由勾股定理得：BP²=BG²+PG² ，

即（6﹣t）²=（ $\text{[math]}$ t）²+[ $\text{[math]}$ （5﹣t）]² ，

解得：t= $\text{[math]}$ ；

综上所述：存在t的值，使得直线l经过点B，t的值是2.5或 $\text{[math]}$ ．

2017年江苏省无锡市宜兴市宜城环科园教学联盟中考数学一模试卷