解：证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），A（ $\sqrt{2}$ ，0），

由题意PQ的方程：y=k（x﹣ $\sqrt{2}$ ）﹣ $\sqrt{2}$ ，

则 ${\begin{matrix} y = k (x - \sqrt{2}) - \sqrt{2} \\ \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}$ ，整理得：（2k²+1）x²﹣（4 $\sqrt{2}$ k²+4 $\sqrt{2}$ k）x+4k²+8k+2=0，

由韦达定理可知：x₁+x₂= $\frac{4 \sqrt{2} k^{2} + 4 \sqrt{2} k}{2 k^{2} + 1}$ ，x₁x₂= $\frac{4 k^{2} + 8 k + 2}{2 k^{2} + 1}$ ，

则y₁+y₂=k（x₁+x₂）﹣2 $\sqrt{2}$ k﹣2 $\sqrt{2}$ = $\frac{- 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} k}{2 k^{2} + 1}$ ，

则k_AP+k_AQ= $\frac{y_{1}}{x_{1} - \sqrt{2}}$ + $\frac{y_{2}}{x_{2} - \sqrt{2}}$ = $\frac{y_{1} x_{2} + y_{2} x_{1} - \sqrt{2} (y_{1} + y_{2})}{x_{1} x_{2} - \sqrt{2} (x_{1} + x_{2}) + 2}$ ，

由y₁x₂+y₂x₁=[k（x₁﹣ $\sqrt{2}$ ）﹣ $\sqrt{2}$ ]x₂+[k（x₂﹣ $\sqrt{2}$ ）﹣ $\sqrt{2}$ ]x₁=2kx₁x₂﹣（ $\sqrt{2}$ k+ $\sqrt{2}$ ）（x₁+x₂）=﹣ $\frac{4 k}{2 k^{2} + 1}$ ，

k_AP+k_AQ= $\frac{y_{1} x_{2} + y_{2} x_{1} - \sqrt{2} (y_{1} + y_{2})}{x_{1} x_{2} - \sqrt{2} (x_{1} + x_{2}) + 2}$ = $\frac{- \frac{4 k}{2 k^{2} + 1} - \sqrt{2} \times \frac{- 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} k}{2 k^{2} + 1}}{\frac{4 k^{2} + 8 k + 2}{2 k^{2} + 1} - \sqrt{2} \times \frac{4 \sqrt{2} k^{2} + 4 \sqrt{2} k}{2 k^{2} + 1} + 2}$ =1，

∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．

2017年江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷