解：方法一：建立如图所示的空间直角坐标系

面 $A_{1} B_{1} P$ 的一个法向量为： $\overset{⇀}{n_{1}} = (0 ， 0 ， 1)$ ， $\overset{⇀}{P Q} = (0 ， 1 ， \sqrt{3})$ ， $\overset{⇀}{P B_{1}} = (\sqrt{3} ， 1 ， 0)$

由 $\overset{⇀}{P Q}$ 和 $\overset{⇀}{P B_{1}}$ 的坐标可解得面 $P Q B_{1}$ 的一个法向量 $\overset{⇀}{n_{2}} = (1 ， - \sqrt{3} ， 1)$

设二面角 $Q - P B_{1} - A_{1}$ 的大小为 $θ$ ，则

$cos θ = \frac{\overset{⇀}{n_{1}} \cdot \overset{⇀}{n_{2}}}{| \overset{⇀}{n_{1}} | \cdot | \overset{⇀}{n_{2}} |} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

方法二：

在面 $A A_{1} C_{1} C$ 内作 $Q M ⊥ A A_{1}$ 于点 $M$ 在面 $A A_{1} B_{1} B$ 内作 $M N ⊥ P B_{1}$ 于点 $N$ ，连接 $Q N$ .

$∵$ 平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$

$∴ Q M$ $⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$

$∴$ $∠ Q N M$ 是二面角 $Q - P B_{1} - A_{1}$ 的平面角

在 $R t Δ Q M N$ 中， $Q M = \sqrt{3}$ ， $M N = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

设二面角 $Q - P B_{1} - A_{1}$ 的大小为 $θ$ ，则 $tan θ = \frac{Q M}{M N} = 2$ $∴ cos θ = \frac{\sqrt{5}}{5}$

云南曲靖市2018届高三理数第一次（1月）统一检测试卷