解：假设存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，

因为这个二次函数的对称轴是直线x=1，

故可设P（1，y₀），

则PA是圆的半径且PA²=y₀²+2²，

过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．

由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，

故△PQM也是等腰直角三角形，

由P（1，y₀）得PE=y₀，PM=|4﹣y₀|， $P Q = \frac{P M}{\sqrt{2}} = \frac{| 4 - y_{0} |}{\sqrt{2}}$ ，

由PQ²=PA²得方程： $\frac{{(4 - y_{0})}^{2}}{2} = y_{0}^{2} + 2^{2}$ ，

解得 $y_{0} = - 4 \pm 2 \sqrt{6}$ ，符合题意，

所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1， $- 4 + 2 \sqrt{6}$ ）或（1， $- 4 - 2 \sqrt{6}$ ）

湖南省邵阳市2018—2019学年九年级中考数学模拟卷