解：证明：将直线y=k（x﹣1）+2代入抛物线方程x²=4y，

可得x²﹣4kx+4k﹣8=0，

即有x₁+x₂=4k，x₁x₂=4k﹣8，

x₁＜x₂，可得x₂﹣x₁= $\sqrt{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}}$ = $\sqrt{16 k^{2} - 16 k + 32}$ =4 $\sqrt{k^{2} - k + 2}$ ．

抛物线的方程为y= $\frac{1}{4}$ x²，求导得y′= $\frac{1}{2}$ x，

过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y﹣y₁= $\frac{1}{2}$ x₁（x﹣x₁），y﹣y₂= $\frac{1}{2}$ x₂（x﹣x₂），

即y= $\frac{1}{2}$ x₁x﹣ $\frac{1}{4}$ x₁²，y= $\frac{1}{2}$ x₂x﹣ $\frac{1}{4}$ x₂²，

解得两条切线l₁、l₂的交点H的坐标为（ $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ， $\frac{x_{1} x_{2}}{4}$ ），即H（2k，k﹣2）．

可得H到直线y=k（x﹣1）+2的距离为d= $\frac{| k (2 k - 1) + 2 - k + 2 |}{\sqrt{1 + k^{2}}}$ = $\frac{2 (k^{2} - k + 2)}{\sqrt{1 + k^{2}}}$ ，

|AB|= $\sqrt{1 + k^{2}}$ •|x₂﹣x₁|=4 $\sqrt{1 + k^{2}}$ • $\sqrt{k^{2} - k + 2}$ ．

可得△ABH的面积为S₁= $\frac{1}{2}$ d•|AB|= $\frac{1}{2}$ • $\frac{2 (k^{2} - k + 2)}{\sqrt{1 + k^{2}}}$ •4 $\sqrt{1 + k^{2}}$ • $\sqrt{k^{2} - k + 2}$

=4（k²﹣k+2）• $\sqrt{k^{2} - k + 2}$ ．

直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S₂= $\int_{x_{1}}^{x_{2}}$ [k（x﹣1）+2﹣ $\frac{1}{4}$ x²]dx

=[ $\frac{1}{2}$ kx²+（2﹣k）x﹣ $\frac{1}{12}$ x³]| $_{x_{1}}^{x_{2}}$ = $\frac{1}{2}$ k（x₂﹣x₁）（x₂+x₁）+（2﹣k）（x₂﹣x₁）﹣ $\frac{1}{12}$ （x₂﹣x₁）[（x₂+x₁）²﹣x₁x₂]

=（x₂﹣x₁）[2k²+2﹣k﹣ $\frac{1}{12}$ （16k²﹣4k+8）]=4 $\sqrt{k^{2} - k + 2}$ • $\frac{2}{3}$ （k²﹣k+2）= $\frac{8}{3}$ （k²﹣k+2）• $\sqrt{k^{2} - k + 2}$ ．

则 $\frac{s_{1}}{s_{2}}$ 为定值 $\frac{3}{2}$

2017年湖北省黄冈市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）