解：对任意的 $m \in N^{*}$ ，

① 当 $n = m$ 时，左边 $= (m + 1) C_{m}^{m} = m + 1$ ，右边 $= (m + 1) C_{m + 2}^{m + 2} = m + 1$ ，等式成立，

② 假设 $n = k (k \geq m)$ 时命题成立，

即 $(m + 1) C_{m}^{m} + (m + 2) C_{m + 1}^{m} + (m + 3) C_{m + 2}^{m} + \dots + k C_{k - 1}^{m} + (k + 1) C_{k}^{m} = (m + 1) C_{k + 2}^{m + 2}$ ，

当 $n = k + 1$ 时，

左边= $(m + 1) C_{m}^{m} + (m + 2) C_{m + 1}^{m} + (m + 3) C_{m + 2}^{m} + \dots + k C_{k - 1}^{m} + (k + 1) C_{k}^{m} + (k + 2) C_{k + 1}^{m}$

$= (m + 1) C_{k + 2}^{m + 2} + (k + 2) C_{k + 1}^{m}$ ，

右边 $= (m + 1) C_{k + 3}^{m + 2}$ ，

而 $(m + 1) C_{k + 3}^{m + 2} - (m + 1) C_{k + 2}^{m + 2}$ ，

$\begin{array}{l} = (m + 1) [\frac{(k + 3)!}{(m + 2)! (k - m + 1)!} - \frac{(k + 2)!}{(m + 2)! (k - m)!}] \\ = (m + 1) \times \frac{(k + 2)!}{(m + 2)! (k - m + 1)!} [k + 3 - (k - m + 1)] \\ = (k + 2) \frac{(k + 1)!}{m! (k - m + 1)!} \\ = (k + 2) C_{k + 1}^{m} \end{array}$

因此 $(m + 1) C_{k + 2}^{m + 2} + (k + 2) C_{k + 1}^{m} = (m + 1) C_{k + 3}^{m + 2}$ ，

因此左边=右边，

因此 $n = k + 1$ 时命题也成立，

综合①②可得命题对任意 $n \geq m$ 均成立．

另解：因为 $(k + 1) C_{k}^{m} = (m + 1) C_{k + 1}^{m + 1}$ ，所以

左边 $= (m + 1) C_{m + 1}^{m + 1} + (m + 1) C_{m + 2}^{m + 1} + \dots + (m + 1) C_{n + 1}^{m + 1}$ $= (m + 1) (C_{m + 1}^{m + 1} + C_{m + 2}^{m + 1} + \dots + C_{n + 1}^{m + 1})$

又由 $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k} + C_{n - 1}^{k - 1}$ ，知 $C_{n + 2}^{m + 2} = C_{n + 1}^{m + 2} + C_{n + 1}^{m + 1} = C_{n}^{m + 2} + C_{n}^{m + 1} + C_{n + 1}^{m + 1} = \dots = C_{m + 2}^{m + 2} + C_{m + 2}^{m + 1} + \dots + C_{n + 1}^{m + 1} = C_{m + 1}^{m + 1} + C_{m + 2}^{m + 1} + \dots + C_{n + 1}^{m + 1}$ ，

所以，左边 $=$ 右边．

海南省海口市海口中学2018-2019年度上学期高二数学期中试卷