解：由已知，平面A₁BE⊥平面BCDE，且交线为BE，

又由（1）知，BE⊥OA₁，所以OA₁⊥平面BCDE，

如图，以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设 $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ，所以 $B (\frac{\sqrt{2}}{2} ， 0 ， 0) ， E (- \frac{\sqrt{2}}{2} ， 0 ， 0) ， A_{1} (0 ， 0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}) ， c (0 ， \frac{\sqrt{2}}{2} ， 0)$ ，

得 $\vec{B C} = (- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2} ， 0) ， \vec{A_{1} C} = (0 ， \frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2}) ， \vec{C D} = \vec{B E} = (- \sqrt{2} ， 0 ， 0)$ ．

设平面A₁BC的法向量 $\vec{n} = (x_{1} ， y_{1} ， z_{1})$ ，平面A₁CD的法向量 $\vec{m} = (x_{2} ， y_{2} ， z_{2})$ ，

平面A₁BC与平面A₁CD的夹角为θ，

则 ${\begin{matrix} \vec{n} \cdot \vec{B C} = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{A_{1} C} = 0 \end{matrix}$ 得 ${\begin{matrix} - x_{1} + y_{1} = 0 \\ y_{1} - z_{1} = 0 \end{matrix}$ ，取 $\vec{n} = (1 ， 1 ， 1)$ ，同理，取 $\vec{m} = (0 ， 1 ， 1)$ ，

从而 $\cos θ = | \cos 〈 \vec{n} ， \vec{m} 〉 | = \frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，

即平面A₁BC与平面A₁CD所成锐二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

2017年云南省大理州高考数学二模试卷（理科）