解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4，

∴AC=AB•com∠A=4× $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，BC=4× $\text{[math]}$ =2，∠B=60°，

∵AC的中点为D，BC的中点为E，F是DE的中点，

∴BE=1，DE= $\text{[math]}$ AB=2，AD=CD= $\text{[math]}$ ，DF=EF=1，DE∥AB，

∴∠CBD=∠B=60°，

① 当AG=3或2时，四边形HDGE是矩形，

当AG=3时，如图1，

BG=4﹣3=1，

∴BG=CE，

BG=BE=EG=1=CE，DE=DE，∠CED=∠DEG=60°，

在△DGE和△DCE中， $\text{[math]}$ ，

∴△DGE≌△DCE，

∴∠DGE=∠DCE=90°，

∴四边形HDGE是矩形；

当AG=2时，则AG=BG，

∴DG∥CE，EG∥AC，H，C重合，

∴∠DCE=90°，∴四边形HDGE是矩形，如图2；

②过F作MN⊥DE，交AC于M，AB与N，

∵DE∥AB，

∴MN⊥AB，∠MDF=∠A=30°，

∵F是DE的中点，

∴MN是线段DE的垂直平分线，

∴ND=NE，

∵DF=1，MB= $\text{[math]}$ ，

∵AD= $\text{[math]}$ ，

∴AM= $\text{[math]}$ ，

∴AN=AM•com∠A= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

当AG=AN= $\text{[math]}$ 时，G在DE的中垂线上，DG=GE，四边形HDGE是菱形．

2015-2016学年河南省周口市周口港区八年级下学期期中数学试卷