解：以

O

为原点，直线

l

、

m

分别为

x ， y

轴建立平面直角坐标系．

设 $P Q$ 与圆 $A$ 相切于点 $B$ ，连结 $A B$ ，以 $1$ 百米为单位长度，则圆 $A$ 的方程为 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，

由题意可设直线 $P Q$ 的方程为 $\frac{x}{2} + \frac{y}{q} = 1$ ，即 $q x + 2 y - 2 q = 0$ ， $(q > 2)$ ，

∵ $P Q$ 与圆 $A$ 相切，∴ $\frac{| 2 - 2 q |}{\sqrt{q^{2} + 2^{2}}} = 1$ ，解得 $q = \frac{8}{3}$ ，

故当 $P$ 距 $O$ 处 $2$ 百米时， $O Q$ 的长为 $\frac{8}{3}$ 百米．

江苏省扬州市仙城中学2017-2018学年高二上学期数学阶段性检测试卷