解：①四边形PDQE是矩形，理由是：

如图1，

过Q作QH⊥AB于H，

把Q（m，m﹣1）代入y=﹣ $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2}$ x+2中得：

m﹣1=﹣ $\frac{1}{2} m^{2}$ + $\frac{3}{2}$ m=2，

m²﹣m﹣6=0，

（m﹣3）（m+2）=0，

m₁=3，m₂=﹣2，

∵Q是第一象限上的点，

∴m＞0，

∴m=﹣2不符合题意，舍去，

∴Q（3，2），

∵A（﹣1，0），B（4，0），

∴AH=4，QH=2，BH=1，

∴AQ= $\sqrt{4^{2} + 2^{2}}$ =2 $\sqrt{5}$ ，BQ= $\sqrt{2^{2} + 1^{2}}$ = $\sqrt{5}$ ，

AB=5，

∴AB²=AQ²+BQ²，

∴∠AQB=90°，

∵PD∥BQ，PE∥AQ，

∴四边形PDQE是矩形；

②如图2，

连接PQ，

∵四边形PDQE是矩形，

∴PQ=DE，

当PQ⊥AB时，PQ最小，即DE最小，

此时PQ=2，即DE=2，

当点P在A时PQ最大，即PQ=AQ=2 $\sqrt{5}$ ，

∴线段DE的长度范围是：2≤DE＜2 $\sqrt{5}$ ；

③当以AP为边时，如图3，

则它的对边为CF，

∵四边形APFC是平行四边形，

∴AP∥CF，

∴点C和点F的纵坐标相等为2，

∴F（3，2），

∴AP=CF=3，

∴P（2，0），

当以AP为对角线时，如图4，

可得F的纵坐标与点C的纵坐标互为相反数，即是﹣2，

当y=﹣2时，代入抛物线的解析式为：﹣2=﹣ $\frac{1}{2} x^{2}$ + $\frac{3}{2} x$ +2，

x= $\frac{3 \pm \sqrt{11}}{2}$ ，

∵点F在第三象限，

∴F（ $\frac{3 - \sqrt{41}}{2}$ ，﹣2），

过F作FM⊥AB于M，则△PCO≌△AFM，

∴OP=AM，

∴OP= $\frac{\sqrt{41} - 3}{2}$ ﹣1= $\frac{\sqrt{41} - 5}{2}$ ，

则此时点P的坐标为（ $\frac{5 - \sqrt{41}}{2}$ ，0），

综上所述，F（3，2），P（2，0）或点F（ $\frac{3 - \sqrt{41}}{2}$ ，﹣2），点P（ $\frac{5 - \sqrt{41}}{2}$ ，0）

2016-2017学年江苏省连云港市灌云县九年级上学期期末数学试卷