解：由题意，以

O

为坐标原点，分别以

O B ， O C

为

x

轴和

y

轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设 $P A = A B =4$ ，则由条件易知 $O A = O C = 2 ， O B = O D = 2 \sqrt{3}$ ，所以， $C (0 ， 2 ， 0) ， A (0 ， - 2 ， 0) ， P (0 ， - 2 ， 4) ， D (- 2 \sqrt{3} ， 0 ， 0) ， E (- \sqrt{3} ， - 1 ， 2)$ .

∴ $\overset{⇀}{O C} = (0 ， 2 ， 0) ， \overset{⇀}{O E} = (- \sqrt{3} ， - 1 ， 2)$ ，

设平面 $A C E$ 的法向量为 $\overset{⇀}{m} = (x ， y ， z)$ ，则 $\overset{⇀}{m} ⊥ \overset{⇀}{O C} 且 \overset{⇀}{m} ⊥ \overset{⇀}{O E}$ .

∴ ${\begin{matrix} \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{O C} = 0 \\ \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{O E} = 0 \end{matrix}$ ，即 ${\begin{matrix} 2 y = 0 \\ - \sqrt{3} x - y + 2 z = 0 \end{matrix}$ ，令 $x = 2 \sqrt{3}$ ，则 $z = 3$ ，所以， $\overset{⇀}{m} = (2 \sqrt{3} ， 0 ， 3)$

同理可求平面 $A E D$ 的法向量 $\overset{⇀}{n} = (\sqrt{3} ， 3 ， 0)$ .

所以， $cos \overset{⇀}{m} ， \overset{⇀}{n} = \frac{\overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{n}}{| \overset{⇀}{m} | | \overset{⇀}{n} |} = \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

由图可知，二面角 $C - A E - D$ 为锐二面角，故其余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

宁夏银川2018届高三理数4月高中教学质量检测试卷