解：延长线段AB至点A'，使得AB=A'B，连接OA'，交直线CB于点P.

下面说明当点P为OA'与CB的交点时△AOP的周长最小.

①当点P (图中实际表示该动点的是点P') 在线段CB上运动时(如备用图1)，

连接A'P'，

∵AB=A'B，∠ABC=90°，

∴直线CB垂直平分线段AA'，

∴AP'=A'P'，

∵△AOP'的周长为：OA+OP'+AP'，

又∵OA=1，

∴△AOP'的周长为：1+OP'+AP'=1+OP'+A'P'，

∴当OP'+A'P'取最小值时，△AOP'的周长最小.

∵当点P'不与点P重合时，线段OP'，A'P'，OA'构成△OP'A'，即OP'+A'P'>OA'，

又∵当点P'与点P重合时，OP'+A'P'=OA'，

∴当点P'与点P重合时，OP'+A'P'最小，即△AOP'的周长最小，

∴当点P在线段CB上运动时，若点P为OA'与CB的交点，则△AOP的周长最小.

②当点P (图中实际表示该动点的是点P") 在线段CB延长线上运动时(如备用图2)，

连接A'P"，

与①同理可得：AP"=A'P"，

又∵△AOP"的周长为：OA+OP"+AP"，

与①同理可得：当OP"+A'P"取最小值时，△AOP"的周长最小，

∵当点P"在线段CB延长线上运动时，线段OP"，A'P"，OA'构成△OP"A'，即OP"+A'P">OA'，

∴当点P在线段CB延长线上运动时，△AOP的周长均大于当点P为OA'与CB交点时的△AOP的周长.

综上所述，当点P为OA'与CB交点时，△AOP的周长最小.

下面求解当点P为OA'与CB交点时点P的运动时间t.

过点A'作A'G⊥AC，垂足为G，(如图3)

∵A'G⊥AC，

∴A'G∥OB，

∴△AGA'∽△AOB

∴ $\frac{A' G}{B O} = \frac{A A'}{A B}$ ， $\frac{A G}{A O} = \frac{A A'}{A B}$

∵AB=A'B，BO=2，AO=1，

∴ $\frac{A' G}{B O} = \frac{A A'}{A B} = \frac{2}{1} = \frac{A' G}{2}$ ， $\frac{A G}{A O} = \frac{A A'}{A B} = \frac{2}{1} = \frac{A G}{1}$ ，

∴A'G=4，AG=2，

∴OG=AG-AO=2-1=1，

∴点A'的坐标为(-1，4)，

∴直线OA'的方程为：y=-4x，

∵点B的坐标为(0，2)，点C的坐标为(-4，0)，

∴直线BC的方程为： $y = \frac{1}{2} x + 2$ ，

∵点P为OA'与CB的交点，

∴联立直线OA'与BC的方程：

${\begin{matrix} y = - 4 x \\ y = \frac{1}{2} x + 2 \end{matrix}$ ，

解之，得： ${\begin{matrix} x = - \frac{4}{9} \\ y = \frac{16}{9} \end{matrix}$ ，

即当点P的坐标为 $(- \frac{4}{9} ， \frac{16}{9})$ 时，△AOP的周长最小.

由第(2)问的结论知，△AOP的面积 $S = \frac{\sqrt{5}}{10} t$ ，

∵当点P的坐标为 $(- \frac{4}{9} ， \frac{16}{9})$ 时，△AOP的面积 $S = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{16}{9} = \frac{\sqrt{5}}{10} t$ ，

∴ $t = \frac{16 \sqrt{5}}{9}$ (秒)，

即△AOP的周长最短时点P运动的时间为 $\frac{16 \sqrt{5}}{9}$ 秒.

四川省成都市实验中学2017-2018学年九年级上学期数学开学试卷