解：在Rt△AOC中，

∵tan∠OAC= $\frac{O C}{O A}$ = $\sqrt{3}$ ，

∴∠OAC=60°，

∵OA=OA₁，

∴△OAA₁为等边三角形，

∴∠AOA₁=60°，

∴∠BOC₁=30°，

∵OC₁=OC=3，

∴C₁（ $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{3}{2}$ ），

∵点A（﹣ $\sqrt{3}$ ，0），E（ $\sqrt{3}$ ，4），

∴AE=2 $\sqrt{7}$ ，

∴A′E′=AE=2 $\sqrt{7}$ ，

∵直线AE的解析式为y= $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ x+2，

设点E′（a， $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ a+2），

∴A′（a﹣2 $\sqrt{3}$ ， $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ﹣2）

∴C₁E′²=（a﹣2 $\sqrt{3}$ ）²+（ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ +2﹣ $\frac{3}{2}$ ）²= $\frac{7}{3}$ a²﹣ $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$ a+7，

C₁A′²=（a﹣2 $\sqrt{3}$ ﹣ $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ）²+（ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ﹣2﹣ $\frac{3}{2}$ ）²= $\frac{7}{3}$ a²﹣ $\frac{35 \sqrt{3}}{3}$ a+49，

①若C₁A′=C₁E′，则C₁A′²=C₁E′²

即： $\frac{7}{3}$ a²﹣ $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$ a+7= $\frac{7}{3}$ a²﹣ $\frac{35 \sqrt{3}}{3}$ a+49，

∴a= $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，

∴E′（ $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，5），

②若A′C1=A′E′，

∴A′C₁²=A′E′²

即： $\frac{7}{3}$ a²﹣ $\frac{35 \sqrt{3}}{3}$ a+49=28，

∴a₁= $\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{39}}{2}$ ，a₂= $\frac{5 \sqrt{3} - \sqrt{39}}{2}$ ，

∴E′（ $\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{39}}{2}$ ，7+ $\sqrt{13}$ ），或（ $\frac{5 \sqrt{3} - \sqrt{39}}{2}$ ，7﹣ $\sqrt{13}$ ），

③若E′A′=E′C₁，

∴E′A′²=E′C₁²

即： $\frac{7}{3}$ a²﹣ $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$ a+7=28，

∴a₁= $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{39}}{2}$ ，a₂= $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{39}}{2}$ （舍），

∴E′（ $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{39}}{2}$ ，3+ $\sqrt{13}$ ），

即，符合条件的点E′（ $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，5），（ $\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{39}}{2}$ ，7+ $\sqrt{13}$ ），或（ $\frac{5 \sqrt{3} - \sqrt{39}}{2}$ ，7﹣ $\sqrt{13}$ ），（ $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{39}}{2}$ ，3+ $\sqrt{13}$ ）

中考备考专题复习：二次函数的应用