解：存在．理由如下：

在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：

①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q，

∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，

∴∠3=∠Q，

∴A′Q=A′B=5，

∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9．

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ．

∴DQ=BQ﹣BD=3 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ；

②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，易知∠2=∠P，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠P，

∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．

∵∠3=∠2，

∴∠3=∠1，

∴BQ=A′Q，

∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ．

在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′²+F′Q²=BQ² ，

即：3²+（4﹣BQ）²=BQ² ，

解得：BQ= $\text{[math]}$ ，

∴DQ=BD﹣BQ= $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

③如答图3﹣3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，易知∠3=∠4．

∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，

∴∠4=90°﹣ $\text{[math]}$ ∠2．

∵∠1=∠2，

∴∠4=90°﹣ $\text{[math]}$ ∠1．

∴∠A′QB=∠4=90°﹣ $\text{[math]}$ ∠1，

∴∠A′BQ=180°﹣∠A′QB﹣∠1=90°﹣ $\text{[math]}$ ∠1，

∴∠A′QB=∠A′BQ，

∴A′Q=A′B=5，

∴F′Q=A′Q﹣A′F′=5﹣4=1．

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴DQ=BD﹣BQ= $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ；

④如答图3﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，易知∠2=∠3．

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，

∴∠1=∠4，

∴BQ=BA′=5，

∴DQ=BD﹣BQ= $\text{[math]}$ ﹣5= $\text{[math]}$ ．

综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；

DQ的长度分别为3 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

2016年江苏省扬州市江都区六校协作联考中考数学二模试卷